μαθηματικά

Η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων και των φυσικών μεγεθών, που μελετά τις μεταξύ τους σχέσεις καθώς και τις σχέσεις τους στον χώρο και στον χρόνο. Η έκταση και τα ενδιαφέροντα των μ., μίας από τις αρχαιότερες επιστήμες, παρουσιάζουν τόση ποικιλία, ώστε δεν είναι δυνατό να δοθεί ένα άκαμπτος στατικός ορισμός του τι είναι μ. Αυτό θα γίνει αντιληπτό μόνο με μια επισκόπηση της ιστορικής τους πορείας. Ιστορία. Αρχικά τα μ. δεν ήταν παρά μια συλλογή από εμπορικούς κανόνες υπολογισμού και μέτρησης. Ορθολογική επιστήμη τα κατέστησαν οι αρχαίοι Έλληνες· έως τους νεότερους χρόνους όμως καθορίζονταν από τα αντικείμενα σπουδής τους, που ήταν –περίπου για 2.000 χρόνια– οι αριθμοί (αριθμητική) και τα σχήματα (γεωμετρία). Μια πρώτη επανάσταση στην έως τότε ελαστική έννοια του όρου μ. επέφερε τον 17o αι. η εμφάνιση της έννοιας της συνάρτησης, από τη γεωμετρία και τη φυσική· μόνο όμως από τις αρχές του 19ου αι. άρχισε να διαμορφώνεται μια πολύ γενικότερη έννοια για τα μ. ως επιστήμης αφηρημένης και τυπικής, που καθορίζεται όχι από το αντικείμενο αλλά μάλλον από τη μέθοδό της, και κατά συνέπεια ικανή να συντελέσει στην ανάπτυξη πεδίων επιστημονικής έρευνας και πρακτικής δραστηριότητας, που φαίνονταν, αν όχι άσχετα, πάντως πολύ μακριά από τα μ. (για παράδειγμα, λογική, οικονομία, γλωσσολογία, επικοινωνίες, αυτόματη ρύθμιση μηχανισμών και συστημάτων). Ένα συνθετικό πανόραμα της ιστορίας των μ. μπορεί να διαφωτίσει την ανάπτυξη και τη μετατροπή της ίδιας της έννοιας της επιστήμης αυτής. Τα μ., με κάποια έννοια, συμβάδισαν πάντα με τον ανθρώπινο πολιτισμό. Μια υποτυπώδης αρίθμηση, υπολογισμός και μέτρηση ήταν και είναι πράγματι απαραίτητα, ακόμα και για τον πρωτόγονο άνθρωπο. Η ανάγκη ανάπτυξης μιας αληθινής επιστήμης γεννήθηκε οπωσδήποτε με την εμφάνιση των γεωργικών και των ναυτικών πολιτισμών, για τους οποίους είχαν τεθεί τα προβλήματα της αστρονομίας, του ημερολογίου και της χωρομέτρησης. Σήμερα είναι γνωστό ότι μη ευρωπαϊκοί πολιτισμοί (οι Κινέζοι και οι Μάγια) είχαν φθάσει σε σημαντικό βαθμό τελειοποίησης (για παράδειγμα στον υπολογισμό του χρόνου)· πρέπει όμως να ληφθεί υπόψη, και για τις μετέπειτα εξελίξεις στην αρχαία Ελλάδα, ότι οι ρίζες των μ. ανάγονται στους αρχαίους πολιτισμούς της Εγγύς Ανατολής και για την ακρίβεια στην αστρονομία των Χαλδαίων και στους γεωμετρικούς και αριθμητικούς κανόνες των Αιγυπτίων, που υπαγορεύτηκαν είτε από την ανάγκη του ανακαθορισμού των ορίων των αγρών μετά τις περιοδικές πλημμύρες του Νείλου είτε από την ανάπτυξη του εμπορίου. Η μεγάλη δημιουργία των Ελλήνων ήταν η ορθολογική γεωμετρία, αποδεικτική και όχι πια ενορατική και πειραματική. Περισσότεροι από τρεις αιώνες γεωμετρικής έρευνας βρήκαν μια αληθινά μνημειώδη έκφραση στα Στοιχεία του Ευκλείδη (330;-275; π.Χ.). Τα πρώτα βήματα έγιναν από τον Θαλή τον Μιλήσιο (624;-548 π.Χ.), που αντιπροσωπεύει τον συνδετικό κρίκο με την αιγυπτιακή γεωμετρία και ο οποίος επινόησε την ομοιότητα, από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (580;-504 π.Χ.) και από τη φιλοσοφικο-αριθμητική σχολή που ίδρυσε ο ίδιος στη Μεγάλη Ελλάδα (νότια Ιταλία). Στο περιβάλλον της μεταγενέστερης πυθαγόρειας σχολής πραγματοποιήθηκε η αποφασιστική ανακάλυψη της ελληνικής γεωμετρίας: η ύπαρξη των λεγόμενων ασύμμετρων μεγεθών, ότι δηλαδή υπάρχουν ομοειδή μεγέθη για τα οποία δεν μπορεί να οριστεί η έννοια του λόγου ως ρητού αριθμού (για παράδειγμα, ο λόγος της διαγωνίου του τετραγώνου προς την πλευρά του, ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του). Αυτή ακριβώς η ανακάλυψη ανάγκασε, υπό μια ορισμένη έννοια, να εγκαταλειφθεί ο πειραματισμός και να εισαχθούν ορισμοί και αποδείξεις αφηρημένου και καθαρά λογικού χαρακτήρα. Την ίδια περίπου εποχή που έζησε ο Ευκλείδης, εργάστηκαν οι άλλοι δύο περίφημοι Έλληνες μαθηματικοί: ο Απολλώνιος ο Περγαίος, συγγραφέας μιας πραγματείας περί κωνικών τομών και ο Αρχιμήδης, ο μεγαλύτερος από όλους, που υπολόγισε με θαυμαστό τρόπο εμβαδά και όγκους, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που προηγήθηκε του απειροστικού λογισμού δύο χιλιάδες χρόνια. Ο Αρχιμήδης όμως δικαιολογούσε δημόσια τα συμπεράσματά του με την εις άτοπον απαγωγή (της αντίθετης υπόθεσης)· και αυτό γιατί τα επικρατούντα τότε φιλοσοφικά συστήματα (πλατωνικό και αριστοτελικό) δεν επέτρεπαν την ιδέα της μεθόδου του. Αυτός είναι ένας από τους λόγους της παρακμής των μ. των ελληνιστικών χρόνων· άλλοι λόγοι ήταν η άρνηση της χρησιμοποίησης άλλων οργάνων εκτός από τον διαβήτη και τον κανόνα στη λύση των γεωμετρικών προβλημάτων, η έλλειψη κατάλληλου συστήματος αρίθμησης και, γενικότερα, ενός αλγεβρικού συμβολισμού. Η αρίθμηση και η άλγεβρα ήταν οι δύο μεγάλες προσφορές των Αράβων στα μ., οι οποίοι από τη μια μεριά δέχτηκαν την ελληνική κληρονομιά, ενώ από την άλλη αφομοίωσαν το πρακτικό πνεύμα των ινδικών μ. και τελειοποίησαν το σύστημά τους για την αρίθμηση θέσης. Από τους Ινδούς μαθηματικούς πρέπει να αναφερθούν οι Αριαμπάτα (5ος-6ος αι. μ.Χ.) και Βραχμαγκούπτα (7ος αι.), από τους Άραβες μαθηματικούς ο έξοχος αλ-Κουαρίσμι (9ος αι.), συγγραφέας δύο θεμελιωδών έργων, που αναφέρονται το πρώτο στη μέθοδο της ινδικής αρίθμησης και το δεύτερο στις πράξεις για την απλοποίηση των εξισώσεων. Από μία από αυτές τις πράξεις, τη μεταφορά ενός όρου από το πρώτο στο δεύτερο μέλος με αλλαγή προσήμου, που ονομαζόταν αραβικά αλ-γκιαμπρ, προήλθε ο όρος άλγεβρα, ενώ το όνομα του Άραβα μαθηματικού, που παραφράσθηκε σε αλγόριθμο, έγινε συνώνυμο της συστηματικής μεθόδου του λογισμού. Οι ανακαλύψεις των Αράβων έγιναν γνωστές στη χριστιανική Δύση –φτωχότατη από μαθηματικής πλευράς κατά τη διάρκεια ολόκληρης της πρώτης περιόδου του Μεσαίωνα– μέσω εμπόρων, μεταφραστών κ.ά. Γνωστός ανάμεσα σε αυτούς είναι ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι με το βιβλίο του Liber Abbaci. Για πολύ καιρό, όμως, με την καινούργια αλγεβρική μέθοδο λύνονταν, αν και με πιο άμεσο και με πιο απλό τρόπο, προβλήματα που οι Έλληνες είχαν ήδη λύσει με την καθαρά γεωμετρική μέθοδό τους. Η αλγεβρική σχολή της Μπολόνια, του 16ου αι., έκανε τα πρώτα βήματα πέρα από τις ελληνικές γνώσεις, με τον τύπο που έλυνε τη γενική αλγεβρική εξίσωση 3ου βαθμού, τον οποίο είχε επινοήσει ο Σιπιόνε νταλ Φερ και ανεξάρτητα από αυτόν ο Νικολό Ταρτάλια και δημοσίευσε για πρώτη φορά ο Τζιρόλαμο Καρντάνο στο έργο του Μεγάλη Τέχνη (Ars Magna). Η μεγάλη τέχνη ήταν η άλγεβρα, για την οποία δημοσίευσε μία πραγματεία (1572) ο Ραφαέλε Μπομπέλι, από την Μπολόνια, στον οποίο οφείλεται και η εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών, που είχε καταστεί αναγκαία για τη λύση μιας περίπτωσης εξίσωσης 3ου βαθμού. Τέλος, ο Λουντοβίκο Φεράρι, μαθητής του Καρντάνο, έλυσε την εξίσωση 4ου βαθμού, χωρίς τον τριτοβάθμιο όρο. Σταδιακά τελειοποιήθηκε και ο συμβολισμός (λογισμός με γράμματα), αναγκαίος για να στηριχθούν και να λυθούν τα προβλήματα με αλγεβρική μέθοδο, αφού μέχρι και την εποχή εκείνη η περιγραφή των εξισώσεων αλλά και οι λύσεις τους δίνονταν περιγραφικά σε φυσική γλώσσα. Ο σημερινός όμως αλγεβρικός συμβολισμός έκανε την εμφάνισή του μόνο τον 18o αι. Η αρχή των μοντέρνων μ. χαρακτηρίζεται από τη συγχώνευση της άλγεβρας και της γεωμετρίας μέσω της μεθόδου των συντεταγμένων ή της καρτεσιανής μεθόδου, που ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Ρενέ Ντεκάρ (εξελλ. Καρτέσιος, 1596-1650), που πρώτος την εξέθεσε στη Γεωμετρία του. Με την καρτεσιανή μέθοδο έγινε δυνατή η παράσταση ενός γεωμετρικού χώρου με εξισώσεις, και αντίστροφα, άνοιξε ο δρόμος για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Έτσι τα μ. απέκτησαν το πρώτο κατάλληλο όργανο για τη μελέτη των συναρτήσεων και κατά συνέπεια της πορείας των φυσικών φαινομένων, όπως για παράδειγμα την κίνηση ενός σώματος. Η αναλυτική γεωμετρία, που θεμελίωσε ο Καρτέσιος, υπήρξε έτσι ένα ουσιώδες όργανο για τη θαυμάσια εκείνη εφαρμογή των μαθηματικών μεθόδων στη μηχανική και γόνιμη προϋπόθεση για τον απειροστικό λογισμό. Ο απειροστικός λογισμός υπήρξε η μεγάλη κατάκτηση των μ. κατά τον 17o αι. Γεωμετρικά προβλήματα (αναζήτηση μέγιστων και ελάχιστων, μελέτη των εφαπτόμενων καμπύλης, υπολογισμός επιφανειών και όγκων) και προβλήματα μηχανικής (στιγμιαία ταχύτητα, εξίσωση κίνησης) αποτέλεσαν την αφετηρία νέων μεθόδων απειροστικού χαρακτήρα. Ο απειροστικός λογισμός, στις δύο στενά συνδεδεμένες μεταξύ τους όψεις του, του διαφορικού λογισμού (παράγωγοι) και του ολοκληρωτικού λογισμού (απειροστικός λογισμός), θεωρείται ορθώς δημιουργία του Γερμανού Γκότφριντ Λάιμπνιτς (βλ. λ.) και του Άγγλου Άιζακ Νιούτον (εξελλ. Ισσαάκ Νεύτων, βλ. λ.). Αλλά τα συγγράμματα με τα οποία ο νέος λογισμός πρέπει να θεωρηθεί ότι θεμελιώθηκε από τους δύο αυτούς μεγάλους στοχαστές, την τελευταία εικοσαετία του 17oυ αι., υπήρξαν η κατάληξη μιας σειράς επιμέρους προσπαθειών και αποτελεσμάτων· αρκεί να αναφερθεί εδώ η σχολή μαθηματικών των Γαλιλαίου, Μποναβεντούρα Καβαλιέρι με τη μέθοδό του των αδιαιρέτων (άτομο), Εβαντζελίστα Τοριτσέλι και Πιέτρο Μενγκόλι. Περίπου επί ενάμιση αιώνα η μαθηματική σκέψη προχώρησε με μεγάλες επιτυχίες στον δρόμο που είχαν ανοίξει ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς. Εδώ πρέπει να αναφερθούν σχετικά το μνημειώδες έργο του Γερμανού Λέοναρντ Όιλερ (βλ. λ.), καθώς και τα αντίστοιχα των Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (βλ. λ.), θεμελιωτή του λογισμού των μεταβολών, Καρλ Φρίντριχ Γκάους (βλ. λ.), στον οποίο οφείλονται ουσιώδη συμπεράσματα και ιδέες για τα φυσικομαθηματικά, τη διαφορική γεωμετρία και τη θεωρία των αριθμών. Τον 19o αι. υποβλήθηκαν σε κριτική και απέκτησαν μεγάλη ακρίβεια οι νέες μέθοδοι (στη φάση αυτή πρέπει να αναφερθούν, μεταξύ άλλων, τα ονόματα του Γάλλου Ογκιστέν Κοσί και του Γερμανού Καρλ Βάιερστρας), κυρίως όμως σημειώθηκε μια βαθιά επανάσταση στη μαθηματική σκέψη. Η λογική και φυσική δυνατότητα ύπαρξης μη ευκλείδειων γεωμετριών υποστηρίχτηκε για πρώτη φορά κατά το 1830 από τον Ρώσο Νικολάι Λομπατσέφσκι (βλ. λ.) και από τον Ούγγρο Γιάνος Μπολιέ. Πρότυπα τέτοιων γεωμετριών στον συνηθισμένο χώρο –όταν στο σημείο, στην ευθεία, στην απόσταση κλπ. αποδίδεται κατάλληλη σημασία– διατυπώθηκαν από τον Μπέρναρντ Ρίμαν, τον Ευγένιο Μπελτράμι και τον Φέλιξ Κλάιν (1849-1925). Επρόκειτο για μια αποφασιστική επανάσταση της μαθηματικής και φιλοσοφικής σκέψης. Καταρρίφθηκε ο μύθος της μίας, μοναδικής και απόλυτης γεωμετρίας, που αντανακλά αμετάβλητα ιδεατά σχήματα (Πλάτων) ή την ίδια τη δομή της ανθρώπινης αισθητικότητας (Καντ). Η γεωμετρία άλλαξε φύση και έγινε μελέτη αφηρημένων δομών, που ικανοποιούν ένα σύστημα αξιωμάτων, από τα οποία το μόνο που ζητείται είναι να εναρμονίζονται με τη λογική. Αυτή ήταν η θέση του Ντέιβιντ Χίλμπερτ, η οποία ξεκινούσε από την αντίληψη περί γεωμετρίας του Ρίμαν, που αναφέρθηκε προηγουμένως. Ανάλογη μετατροπή υπέστη και η έννοια της άλγεβρας, η οποία έγινε σπουδή των δομών με πράξεις, που ορίζονται αξιωματικά μέσω των τυπικών ιδιοτήτων τους. Το πρώτο βήμα προς την κατεύθυνση αυτή έγινε, γύρω στα 1880, από τον Γάλλο Εβαρίστ Γκαλουά (βλ. λ.) και τον Νορβηγό Νιλς Ένρικ Άμπελ (βλ. λ.), με την εισαγωγή της έννοιας των ομάδων. Σήμερα τα μ. νοούνται (σύμφωνα με τις απόψεις της ομάδας Μπουρμπακί, που έχουν πια επιβληθεί) ως σπουδή τυπικών δομών, από τις οποίες οι πιο απλές και θεμελιώδεις είναι οι αλγεβρικές και οι τοπολογικές· η τοπολογία είναι ένας πολύ πρόσφατος κλάδος, τον οποίο ανήγαγαν σε επιστήμη ο Γάλλος Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912) και ο Ολλανδός Γιαν Μπράουερ. Προϋπόθεση όλης της μαθηματικής επιστήμης εμφανίζεται η μελέτη των συνόλων (γενική θεωρία των συνόλων, την οποία θεμελίωσε ο Γκεόργκ Κάντορ, το 1877-78). Η εμφάνιση της θεωρίας των συνόλων κλόνισε τη μέχρι τότε επικρατούσα άποψη, ότι τα μ. είναι λογικά στηριγμένα, ακριβώς γιατί από την αρχή παρουσιάστηκαν στη θεωρία αυτή αντιφάσεις (αντινομίες). Ιδιαίτερα εκπληκτικό υπήρξε το γεγονός ότι συλλογισμοί που οδηγούσαν στις προηγούμενες αντιφάσεις χρησιμοποιούνταν ευρύτατα στα μέχρι τότε μ. Γι’ αυτό, με την είσοδο του 20ού αι., ένα από τα πιο φλέγοντα προβλήματα ήταν εκείνο της θεμελίωσης των μ. κατά τρόπο τέτοιον που να τα διασφαλίζει από μελλοντικές αντιφάσεις. Με το πρόβλημα αυτό συνδέθηκαν τα ονόματα των Μπέρτραντ Ράσελ, Μπράουερ, Χίλμπερτ, Βάιλ, Γκέντελ κ.ά. Είναι αλήθεια ότι μέχρι σήμερα δεν έχει επιτευχθεί μια καθολική θεμελίωση για τα μ. με τρόπο που να διασφαλίζει ότι μελλοντικά δεν θα εμφανιστούν αντιφάσεις, όμως η όλη προσπάθεια που καταβλήθηκε τον 20ό αι. προς την κατεύθυνση αυτή αξίζει θαυμασμό. Εκτός από την απασχόληση με το πρόβλημα της θεμελίωσης των μ., η δραστηριότητα στον 20ό αι. επεκτάθηκε σε πολλά άλλα πεδία και κατευθύνσεις, θεωρητικές και πρακτικές. Αναπτύχθηκε ιδιαίτερα η θεωρία ολοκλήρωσης (Λεμπέκ, Στόουν, Ντάνιελ, Μπουρμπακί κ.ά.), η τοπολογία (Χάουσντορφ, Κουρατόφσκι, Φρεσέ, Ριτζ, Μπάναχ, κ.ά.), η θεωρία πιθανοτήτων (Κλομογκόροφ κ.ά.), η ποιοτική θεωρία των διαφορικών και διάφορο-διαφορικών εξισώσεων (που άρχισε, κυρίως, με τους Λιαπούνοφ, Μπέντιξον και Πουανκαρέ), η κυβερνητική, ο προγραμματισμός, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές κ.ά. Διδακτική των μ. Η εκμάθηση των μ. είτε ως συστηματικής και αφηρημένης επιστήμης είτε ως ικανότητας υπολογισμών και μέτρησης για πρακτικούς σκοπούς, υπήρξε πάντοτε αντικείμενο ιδιαίτερων φροντίδων σε όλους τους πολιτισμούς. Στον 20ό αι., η αυξανόμενη σημασία των μ. ως βοηθητικής και πειραματικής επιστήμης, η προοδευτική διάδοση της παιδείας σε ολοένα και ευρύτερες μάζες και η πρόοδος των μελετών της ψυχολογίας της ηλικίας της ανάπτυξης, κατέστησαν το πρόβλημα της διδακτικής των μ. αντικείμενο προσεκτικής και ιδιαίτερα μελετημένης μεταχείρισης. Ανάμεσα σε όλες τις άλλες πρωτοβουλίες μπορούν να αναφερθούν η ίδρυση από τους Ζαν Πιαζέ, Κ. Γκατένιο και Ζ. Σοκέ, της Διεθνούς Επιτροπής για τη μελέτη και βελτίωση της διδασκαλίας των μ. (Commission International pour l’ Etude et l’ Amelioration de l’ Enseignement des Mathematiques), το συνέδριο του 1960, με πρωτοβουλία του Οργανισμού Ευρωπαϊκής Οικονομικής Συνεργασίας (ΟΕΟΣ) για τα προγράμματα των μ. στη μέση εκπαίδευση κ.ά. Τα δύο επίπεδα που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον για το πρόβλημα είναι της στοιχειώδους και της μέσης εκπαίδευσης, επειδή γι’ αυτά υπάρχει το ζήτημα της επινόησης ενός τύπου διδασκαλίας ανάλογου με την ικανότητα του παιδιού να αντιλαμβάνεται τις ποσοτικές σχέσεις και να εκτελεί τις σχετικές πράξεις. Η τελευταία αυτή δραστηριότητα είναι (σύμφωνα με τον πιο διάσημο εκπρόσωπο των σύγχρονων μελετών της διδακτικής των μ. Ζαν Πιαζέ) απαραίτητη για τον σχηματισμό των βασικών εννοιών. Η χρησιμοποίηση συγκεκριμένου υλικού (που υπάρχει στη διδακτική των Μοντεσόρι, Ντεκρολί, Γκατένιο κ.ά.) γίνεται με αυτήν την προοπτική. Δηλαδή οι πράξεις επί της ύλης και όχι η ύλη ως αισθητή παράσταση, είναι αυτές που χρησιμεύουν για να προετοιμάσουν την εκμάθηση των μ. υπό την αφηρημένη τους όψη. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί η αντιστοιχία μεταξύ των διδακτικών αυτών αντιλήψεων και μερικών αντιλήψεων της σύγχρονης μαθηματικής επιστήμης (Μπουρμπακί), που τοποθετούν ένα σύστημα μαθηματικών πράξεων ως θεμέλιο ολόκληρου του μαθηματικού οικοδομήματος. Πριν διατυπωθούν οι κανόνες του μαθηματικού υπολογισμού, ήταν σχεδόν αναπόφευκτη η προσφυγή σε διαγράμματα και σε στερεά πρότυπα. Μια τάση της σύγχρονης διδακτικής των μαθηματικών είναι να κάνει συχνά το παιδί να ανατρέχει στην ιστορία και να ξεκινάει από το σχήμα για να φτάσει έτσι στον κανόνα. Παλιός βαθμολογημένος κύλινδρος που τον χρησιμοποιούσαν για τη μετατροπή μέτρων, που δεν ήταν πια σε χρήση, στο δεκαδικό σύστημα (Μουσείο Τεχνών και Επαγγελμάτων, Παρίσι). Αιγυπτιακός πάπυρος που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μπορούσαν να υπολογίσουν τον όγκο μιας κυλινδρικής αποθήκης που είχε σιτηρά, της οποίας ήταν γνωστά το ύψος και η διάμετρος.

* * *

τα (AM μαθηματικά)

επιστήμη που έχει ως αντικείμενο μελέτης τις χωρικές μορφές και τις ποσοτικές σχέσεις τών αντικειμένων, όπως αυτές αναπτύχθηκαν από την πρακτική αρίθμησης, μέτρησης και περιγραφής τους

νεοελλ.

1. το σχετικό μάθημα που διδάσκεται στα σχολεία

2. το βιβλίο και το τετράδιο για το μάθημα αυτό.

[ΕΤΥΜΟΛ. Ουσιαστικοποιημένος τ. τού ουδ. τού επιθ. μαθηματικός].